Perkembangan matematika pada abad
pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal
dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak
bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang
wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama
anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan
lawatan.
Fibonacci menulis buku Liber Abaci
setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh
di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab
memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal
setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan
menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua
kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada
matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya
yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria,
Yunani, Sisilia.
Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber
Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan
menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul
dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan
Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan
bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan
(baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya.
Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan
penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu
dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar
pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan.
Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang
marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran
(kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih
dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber
Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap.
Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung,
Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.
Pertemuan dengan Frederick dan
pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan
diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber
Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja.
Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan
yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi
diperlukan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang akan
beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap
bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”
-
Akhir bulan kedua, mereka kawin dan
kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
-
Akhir bulan kedua, kelinci betina
melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
-
Akhir bulan ketiga, kelinci betina I
melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
-
Akhir bulan keempat, kelinci betina I
melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak
kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang
kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya
(contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk
menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal
dengan nama deret Fibonacci.
Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun
pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai
oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif
berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah
Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi
Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang
lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam
dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret
bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci
yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari
susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan
dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1
(urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2
(urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3
(urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem
kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah
kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini
dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran
ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *;
jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak
bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan
deret Fibonacci.
Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman
Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas.
“Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di
Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil
nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13;
34/21; 55/34; 89/55; 144/89…
Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil
pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas
(golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat
antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar
di bawah ini.
Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615
1,619 1,617 1,618 1,618
Barangkali kenyataan ini mampu menjawab
pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.
Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b
(deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan
b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi
emas)
Substitusikan nisbah emas dengan notasi
Φ (phi) untuk persamaan di atas.
Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan
kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ – 1 = 0
Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618
Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga
menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan.
Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam
transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang.
Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh
(seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal).
Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan
bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6,
sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini
pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh,
dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.
Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung
pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke
dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret
Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang
dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan
perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien –
dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan
matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit,
kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan
harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.
Referensi:
-
http://mate-mati-kaku.com/matematikawan/fibonacci.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar